Nuestra
macro resuelve la cuadrícula de la Fig. 12 en cinco jugadas, como hemos visto.
¿Es posible resolverla en menos de cinco? Puede demostrarse que no. Se
necesitan por lo menos cinco rotaciones para ordenar el tablero de la Fig. 12.
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1 |
2 |
3 |
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4 |
5 |
6 |
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7 |
9 |
8 |
Fig. 12
Para
demostrarlo, consideremos los números 4 y 6 de la misma Fig. 12. Como habrá que
mover al 9 y no sólo con el cuadrado inferior derecho, hay que afectar al 4.
Esto implica por lo menos dos jugadas sobre el cuadrado inferior: una para
“desacomodarlo” y otra para “acomodarlo”. De otra parte, como habrá que mover
al 8, y por consiguiente el 6, hay que mover el cuadrado inferior derecho, cosa
que implica por lo menos otras dos jugadas, una para “desacomodar” y otra para “acomodar”
al 6. Esto implica que en ningún caso el número de jugadas puede ser menor que
cuatro.
Ahora bien,
como las cuatro jugadas que hemos establecido como mínimo tienen que darse de
todos modos, y como son propias de los cuadrados inferiores, es evidente que si
afectamos los cuadrados superiores habrá más de estas cuatro jugadas, según queríamos
demostrar.
Es decir
que la única posibilidad de que cuatro jugadas acomoden al 9 y al 8 es que las
cuatro se den en los dos cuadrados inferiores: dos en cada cuadrado, y de modo
tal que en cada cuadrado las dos jugadas sean en sentido opuesto. Estas
condiciones impiden que el 9 llegue a la esquina inferior derecha, porque para
llegar a ella es preciso que el cuadrado inferior derecho gire por lo menos dos
veces en el mismo sentido. Esto demuestra que no hay una macro de menos de
cinco jugadas que acomode dos números contiguos, diferentes del centro, en una
cuadrícula de 3x3.
Es evidente
que cualquier serie de jugadas puede escribirse en términos generales y
entonces considerarse una “macro”, por lo menos con la vaga definición de macro
de que disponemos hasta ahora. Para que el concepto sea útil necesita definirse
mejor. Sin llegar al máximo rigor podemos decir que una macro es la redacción
general de un operador que deja en su posición original a un subconjunto de los
elementos de una cuadrícula, después de afectarlos, aunque cambia de lugar a
los restantes.
Expliquemos
esta definición. La idea es que la macro mueve algunos elementos y de ellos
algunos quedan en su posición original mientras que otros cambian. Es preciso
afirmar que devuelve a su posición original a algunos de los que mueve pues de
otro modo cualquier operador sería una macro, incluyendo los movimientos
triviales de los cuadrados de acción.
Podemos definir
el rango de una macro como el cociente entre el número de elementos
movidos entre el número de movimientos, multiplicado por el número de elementos
devueltos a su posición original.
Esta
definición no es arbitraria. El cociente entre elementos movidos y elementos
intercambiados da una idea del “ingenio” de la macro: cuanto mayor sea este
cociente más ingeniosa es la serie que ha logrado devolver casi todos a su
lugar cambiando selectivamente los que uno desee. Dividir otra vez ese cociente
por el número de jugadas hace que se alcance un resultado mejor cuanto menor
sea este número, cosa que, una vez más, denota ingenio.
La macro de
que hasta ahora disponemos:
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PC+, SO+, PC-, PS-, SO- |
tiene un
rango de 8/(2x5) = 0.8, porque afecta 8 elementos, mueve en definitiva sólo a 2
y lo logra con En donde “PC+” significa: “gire el cuadrado de acción que
contiene a los lados primero y complemento en el mismo sentido de
la flecha”; y otro tanto para los demás. La Fig. 9 es la macro de intercambio
de dos cuadrados adyacentes en cualquiera de los costados de la cuadrícula.
Como un
ejercicio, resolvamos la cuadrícula de la Fig. 7. Para el efecto, la
reescribimos así:
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1 |
2 |
3 |
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P |
7 |
5 |
6 |
O |
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4 |
9 |
8 |
|
S
->
Fig. 10
La flecha
la hemos puesto abajo por comodidad, pero en realidad descubrimos su sentido en
el costado izquierdo, en la dirección que va del 7 al 4, es decir, según las
manecillas del reloj, como ha quedado también en nuestra Fig. 10.
Según
nuestra macro de la Fig. 9, el primer movimiento es PC+, que equivale a rotar
los números del cuadrado que contiene 1, 2, 7 y 5, de modo que queden: 2, 5, 1,
7. El proceso completo de aplicación de la macro está representado en la
siguiente ilustración:
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1 |
2 |
3 |
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2 |
5 |
3 |
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2 |
5 |
3 |
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7 |
5 |
6 |
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1 |
7 |
6 |
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1 |
6 |
9 |
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4 |
8 |
9 |
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4 |
8 |
9 |
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4 |
7 |
8 |
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1 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
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6 |
5 |
9 |
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4 |
6 |
9 |
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4 |
5 |
6 |
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4 |
7 |
8 |
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7 |
5 |
8 |
|
7 |
8 |
9 |
Fig. 11
Surgen de
inmediato preguntas: ¿Hay alguna macro de menos de cinco jugadas que logre el
mismo propósito de intercambiar dos cuadrados adyacentes? ¿Qué otras macros
hay? ¿Nos ayuda esto a resolver cuadrículas superiores a 3x3? Son temas que
estudiaremos en nuestras siguientes páginas.