En el juego
de Rotation el propósito es ordenar una serie de números dentro de una
cuadrícula. Los números al principio están desordenados. El tamaño de la
cuadrícula puede variar cambiando las condiciones de didifcultad del juego. En
una cuadrícula de 3x3 puede verse al principio algo como esto:
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4 |
3 |
8 |
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6 |
9 |
1 |
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2 |
7 |
5 |
Fig. 1
El cuadrado
que aparace destacado, en este caso el que contiene los números 3, 8, 9 y 1, es
el lugar donde uno puede actuar, precisamente rotando esos números, de
donde viene el nombre del juego. El cuadrado donde uno puede actuar se llama
convenientemente cuadrado de acción. El sentido de la rotación es
también una elección del jugador.
Una rotación
en el sentido del reloj, dentro del cuadrado destacado, produce este efecto:
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4 |
9 |
3 |
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6 |
1 |
8 |
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2 |
7 |
5 |
Fig. 2
El cuadrado
de acción puede ser determinado por el jugador. Para simplificar la notación, notemos
que en una cuadrícula de 3x3 hay exactamente cuatro cuadrados de acción, que
pueden ser nombrados por las letras a, b, c y d:
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a |
a |
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b |
b |
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a |
a |
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b |
b |
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c |
c |
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d |
d |
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c |
c |
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d |
d |
Fig. 3
Si adoptamos la convención, usual en
geometría, de considerar positivas las rotaciones contrarias a las
manecillas del reloj y negativas las que siguen estas manecillas, entonces
podemos describir el paso de la Fig. 1 a la Fig. 2 como “-b”.
¿Cómo lograr ordenar los números que
nos dan al comienzo del juego? ¿Es soluble todo juego, es decir, puede
llegarse a una secuencia puesta en el orden natural a partir de cualquier secuencia inicial? Veremos las respuestas.
Es lógico
pensar en ordenar nuestra cuadrícula fila por fila. Partiendo de la Fig. 1, uno
puede hacer las jugadas que se indican en la Fig. 4. Cada cuadrícula en esta
serie tiene destacado en color el cuadrado de acción que se va a utilizar para
pasar a la siguiente cuadrícula: amarillo si es en sentido del reloj; verde
claro si es en el sentido opuesto.
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4 |
3 |
8 |
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4 |
9 |
3 |
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4 |
1 |
9 |
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4 |
1 |
9 |
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6 |
9 |
1 |
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6 |
1 |
8 |
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6 |
8 |
3 |
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8 |
7 |
3 |
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2 |
7 |
5 |
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2 |
7 |
5 |
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2 |
7 |
5 |
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6 |
2 |
5 |
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4 |
1 |
9 |
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1 |
2 |
9 |
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2 |
7 |
9 |
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2 |
9 |
3 |
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7 |
2 |
3 |
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4 |
7 |
3 |
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1 |
4 |
3 |
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1 |
7 |
4 |
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8 |
6 |
5 |
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8 |
6 |
5 |
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8 |
6 |
5 |
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8 |
6 |
5 |
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1 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
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7 |
9 |
4 |
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7 |
4 |
5 |
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4 |
9 |
5 |
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4 |
5 |
6 |
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8 |
6 |
5 |
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8 |
9 |
6 |
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7 |
8 |
6 |
|
7 |
9 |
8 |
Fig. 4
No está
mal. Sólo nos falta intercambiar el 8 y el 9. Pero en ese intercambio hay mucho
que aprender.
Antes de
dar ese paso, sin embargo, trasncribamos las jugadas de la Fig. 4 a notación
estándar. El resultado es:
-b-b+c+c+a+a+b-a-d+c+d
que puede
abreviarse un poco: “-2b+2c+2a+b-a-d+c+d”. A esta serie de jugadas la podemos
llamar un operador. Si a la cuadrícula de la Fig. 1 se le aplica este
operador se obtiene la cuadrícula de abajo a la derecha en la Fig. 4. En el
fondo, pues, resolver una cuadrícula es encontrar el operador que conduzca a la
serie ordenada de números naturales.
Pero
todavía nos falta intercambiar el 8 y el 9 de esa cuadrícula final de la Fig.
4.