Las Matemáticas del «Pico y Placa»
|
El
"pico y placa" es un sistema en la ciudad de Bogotá para la
restricción de circulación de automóviles durante ciertas horas, de acuerdo
con el dígito final de su placa. Para los autos particulares es: lunes,
1,2,3,4; martes, 5,6,7,8; miércoles, 9,0,1,2; jueves, 3,4,5,6; viernes,
7,8,9,0. Para los carros de servicio público, hay un cierto día en el que
empezó un ciclo: lunes, 1,2; martes, 3,4; miércoles, 5,6; jueves, 7,8;
viernes, 9,0; sábado, 1,2; luego, el otro lunes: 3,4; martes, 5,6; y así
sucesivamente. El problema es encontrar una fórmula que nos dé qué carros
tiene restricción en qué día. |
¿Existe una fórmula que le permita a uno saber qué placas tienen restricción, dado el día de la semana? Sí existe, tanto para carros particulares como para los de servicio público. En el primer caso es 4d-3 y en el segundo 2×(s+d-k)+9. Veamos cómo se llega a esas fórmulas y cómo es posible usarlas.
Si llamamos "d" al día de la semana, es decir, 1 para el lunes, 2 para el martes y así sucesivamente, entonces 4d-3 nos da en su último dígito la primera cifra que tiene restricción.
Notemos que basta con el número inicial de los que tienen restricción ese día. Por ejemplo, basta con que la fórmula nos dé un "9" para el día "3" (miércoles), porque ya con ese nueve uno sabe que tendrán restricción los terminados en 9, 0, 1 y 2.
Así que nuestra fórmula puede ser vista como una "máquina" que, si le entra "1", sale 1; para "d=2" sale 5; para "d=3" sale 9; para "d=4" sale 3; para "d=5" sale 7. Estos números de salida son simplemente la cifra de las unidades en la serie aritmética 1, 5, 9, 13, 17, que equivale a 0+1, 4+1, 8+1, 12+1, 16+1, es decir: 4×0+1, 4×1+1, 4×2+1, 4×3+1, 4×4+1.
Es obvio el patrón que siguen estos números: 4×(d-1)+1, o sea: 4d-3. Nuestra fórmula (que matemáticamente llamaríamos mejor un "algoritmo") es: 4d-3, teniendo en cuenta sólo las unidades. Por ejemplo: ¿qué vehículos tienen restricción el día jueves? Jueves es día 4, de modo que d=4; en consecuencia, 4d-3 = 4×4-3 = 13. Tenemos en cuenta sólo las unidades y nos queda el dígito 3. El jueves tienen restricción 3, 4, 5 y 6.
Pasemos al caso del servicio público. La gran diferencia con los carros particulares es que el mismo día no siempre restringe los mismos carros, porque la serie de restricciones se repite cada cinco días, mientras que los días de restricción son seis. Esto hace que aparezca en acción un nuevo ingrediente para la fórmula final: necesitamos tener en cuenta el número de la semana dentro del año. Vamos a llamar "s" a este número. Tenga en cuenta que en distintos calendarios es posible que se presenten distintos modos de numerar las semanas; lo importante es hacer todas estas cuentas siguiendo la lógica de un solo calendario.
Cada año hay una primera semana en la que sucede que el lunes tienen restricción los vehículos de servicio público acabados en 1 y 2. Al número de esta semana vamos a llamarlo "k". Por ejemplo, en el 2002,esa semana fue la tercera (k=3, para el año 2002), y en ella el lunes fue 14 de enero. En esa semana, que por decirlo así "marca" todo ese año, la restricción va así: lunes, 1-2; martes, 3-4; miércoles, 5-6; jueves, 7-8; viernes, 9-0; sábado, 1-2. No es difícil ver que para esta semana la restricción corresponde a 2×(d)-1.
Para la siguiente semana (s=4), hay un "desfase" de dos unidades, que equivale a añadir un día, porque el martes de la semana 4 tendrá la misma restricción que el lunes de la semana 3. Así llegamos a la fórmula 2×(d+s-k)-1, que es ya casi nuestra respuesta.
En efecto, hay que tener en consideración el caso en el que s sea menor que k. Esto no es difícil de arreglar porque es obvio que aunque k cambia de año en año, para cualquier año k es menor o igual a 5. Y como del resultado de nuestra fórmula nos interesan las unidades, evitaremos las cifras negativas si escribimos la fórmula final como 2×(d+s-k)+9, conservando al final la cifra de las unidades y teniendo en cuenta que k depende del año.
En particular, para el 2002, k=3, así que la fórmula para este año es 2×(d+s-3)+9 = 2×(d+s)+3. Un ejemplo: ¿qué vehículos públicos tendrán restricción el 15 de agosto de 2002? Ese día es un jueves (d=4) y está en la semana 33 (s=33), de donde 2×(s+d)+3 = 74+3 = 77. La cifra de las unidades es 7 y ello implica que el 15 de agosto de 2002 tendrán pico y placa los vehículos públicos de placas 7 y 8 (un dato que puede servir para planear viajes).
+