Parece
razonable suponer que en más de una ocasión llegaremos a una situación como la
que presenta la Fig. 5, en la que todo está en orden salvo un par de números
contiguos:
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1 |
2 |
3 |
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4 |
5 |
6 |
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7 |
9 |
8 |
Fig. 5
Después de
ensayar varias posibilidades uno encuentra un operador que resuelve este
problema en sólo cinco jugadas:
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1 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
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1 |
3 |
6 |
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4 |
5 |
6 |
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5 |
9 |
6 |
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5 |
2 |
9 |
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7 |
9 |
8 |
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4 |
7 |
8 |
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4 |
7 |
8 |
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1 |
3 |
6 |
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1 |
3 |
6 |
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1 |
2 |
3 |
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4 |
5 |
9 |
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4 |
2 |
5 |
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4 |
5 |
6 |
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7 |
2 |
8 |
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7 |
8 |
9 |
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7 |
8 |
9 |
Fig. 6
La notación de este operador es: “+c+b-c-d-b”. Obviamente, si uno toma
la cuadrícula ordenada y le aplica este operador llega a la disposición de la
Fig. 5.
Mas aquí aparece el límite de la notación de operadores. Suponga que en
medio de un juego Ud. llega a esta cuadrícula:
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1 |
2 |
3 |
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7 |
5 |
6 |
|
4 |
9 |
8 |
Fig. 7
Es claro que se trata del mismo problema de la Fig. 5 pero también es
claro que hay que escribir los movimientos del operador en términos más
generales, de acuerdo con las diversas posibilidades de los números que
queremos cambiar. Esa descripción “en términos más generales” es lo que
llamamos una macro.
Para escribir nuestra primera macro añadamos algunos elementos a la
Fig. 5, según muestra la Fig. 8:
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1 |
2 |
3 |
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C
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4 |
5 |
6 |
S
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7 |
9 |
8 |
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P
->
Fig. 8
Los dos cuadrados que queremos intercambiar tienen un costado de dos
unidades sobre uno de los lados de la cuadrícula y un costado de una unidad
sobre otro de los lados. Llamamos P, que alude a “primero” al costado que contiene los dos números que van a
ser intercambiados, y S, que alude a “segundo” al otro costado, adyacente al anterior, desde
luego, en que está la unidad. O, que significa “opuesto”, es el lado contrario a P, y C, que se refiere a “complemento”.
Observemos además que dos cuadrados adyacentes tienen siempre un
cuadrado en la mitad de algún lado. La línea que va de ese cuadrado central al
del vértice determina de modo unívoco una dirección. Es lo
que indica la flecha roja en la Fig. 8. Esta dirección no debe tomarse como
“izquierda” o “derecha”, sino en cuanto es en el sentido del reloj o contrario
a él.
Según esto, el operador que describimos en la Fig. 6 puede describirse
en términos más genéricos así:
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PC+, SO+, PC-, PS-, SO- |
Fig. 9
En donde
“PC+” significa: “gire el cuadrado de acción que contiene a los lados primero
y complemento en el mismo sentido de la flecha”; y otro tanto para los
demás. La Fig. 9 es la macro de intercambio de dos cuadrados adyacentes en
cualquiera de los costados de la cuadrícula.
Como un
ejercicio, resolvamos la cuadrícula de la Fig. 7. Para el efecto, la
reescribimos así:
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1 |
2 |
3 |
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P |
7 |
5 |
6 |
O |
|
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4 |
9 |
8 |
|
S
->
Fig. 10
La flecha
la hemos puesto abajo por comodidad, pero en realidad descubrimos su sentido en
el costado izquierdo, en la dirección que va del 7 al 4, es decir, según las
manecillas del reloj, como ha quedado también en nuestra Fig. 10.
Según
nuestra macro de la Fig. 9, el primer movimiento es PC+, que equivale a rotar
los números del cuadrado que contiene 1, 2, 7 y 5, de modo que queden: 2, 5, 1,
7. El proceso completo de aplicación de la macro está representado en la
siguiente ilustración:
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1 |
2 |
3 |
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2 |
5 |
3 |
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2 |
5 |
3 |
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7 |
5 |
6 |
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1 |
7 |
6 |
|
1 |
6 |
9 |
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4 |
8 |
9 |
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4 |
8 |
9 |
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4 |
7 |
8 |
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1 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
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6 |
5 |
9 |
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4 |
6 |
9 |
|
4 |
5 |
6 |
|
4 |
7 |
8 |
|
7 |
5 |
8 |
|
7 |
8 |
9 |
Fig. 11
Surgen de
inmediato preguntas: ¿Hay alguna macro de menos de cinco jugadas que logre el
mismo propósito de intercambiar dos cuadrados adyacentes? ¿Qué otras macros
hay? ¿Nos ayuda esto a resolver cuadrículas superiores a 3x3? Son temas que
estudiaremos en nuestras siguientes páginas.